pi sayısı hakkında detaylı bilgi...!!!

Bir çemberin çapı 1 olduğunda, çevresi Pi'ye eşittir.

Yunan alfabesinin 16. harfidir. Bu harf, aynı zamanda, Yunanca çevre
(çember) anl***** gelen "perimetier" kelimesinin de ilk harfidir.
İsviçreli matematikçi Leonard Euler, 1737 yılında yayınladığı eserinde,
daire çevresinin çapına oranı söz konusu olduğunda, bu sembolü
kullandı. Leonard Euler'den önce gelen bazı matematikçiler tarafından
da, bu sembol kullanılmıştır. Ancak, Leonard Euler'den sonra gelen, tüm
matematikçiler bu sembolü benimseyip kullandılar.
Ayrıca, doğal logaritmanın tabanı olan 2, 71828... sayısı için, L.
Euler'in kullandığı e harfi, sembol olarak bütün matematikçiler
tarafından kullanılmaya başlanmış, benimsenmiştir. Gene, karekök içinde
-1 imajineri için de, L. Euler ile birlikte i sembolü kullanılmaya
başlanmış ve genelleşmiştir.

Peki Pi Sayısını Kim bulmuştur?
Pi'yi Nasıl Hesaplarız ?
Doğum Gününüzün Pi nin İçinde Olduğunu Biliyor Muydunuz?
Pi Sayısının 1 000 000 rakamı..

Kaynaklar pi sayısı için, ilk gerçek değerin, Archimedes
tarafından kullanıldığını belirtir. Archimedes; pi sayısının değerini
hesaplamak için bir yöntem vermiş ve pi değerini 3+1/7 ile 3+10/71
arasında tespit etmiştir. Bu iki kesrin ondalık sayı karşılığı 3,142 ve
3,1408 dir. Bu iki değer, pi sayısının, bugünkü bilinen gerçek değerine
çok yakın olan bir değerdir. Ancak Archimedes'in gençlik yıllarında
Mısır'da uzun bir süre öğrenim gördüğünü hesaba katarsak Babilliler'in
çok eski zamanlardan beri, kullanılan yaklaşık bir bilgiye sahip
oldukları anlaşılmıştır. Genel olarak pi=3 değerini kullanıyorlardı.
Bazı tabletlerde pi=3,125 değeri ne de rastlanılmıştır. Aydın Sayılı,
adı geçen eserinde, "Mezopotamyalılar'da, idealleştirilmiş çemberlerle
üçgenlerdeki geometrik münasebetler aracılığıyla, çözümlenen
problemlerde teorikleştirilmiş ve soyutlaştırılmış bir durum mevcuttur"
der. Böyle problemlerde sonuç hesaplanırken pi sayısı için, değerinin
kullanılmış olduğunu belirtir.

Bu değeri; Mezopotamyalılar takribi sonuçlar için kullanmaktaydılar.
Daha iyi yaklaşık sonuçlar elde etmek istedikleri zaman pi=3,125
değerini uygularlardı. Ancak pi sayısının; Mısırlılar'ınkinden ve Susa
tabletlerinin gösterdiği değerden oldukça daha iyi bir değeri, ilkin
Archimedes tarafından bulunmuştur. Kaynaklar; Mezopotamyalılar, yamuk
alanı hesabı ile, silindir ve prizma hacim hesaplarını bildiklerini ve
pi için de 3 değerini kullandıklarını belirtir. Fakat eski Babil çağına
ait olup, Susa'da bulunmuş olan tabletlerde pi için kabul edilen
değerin 3,125 olduğu anlaşılmaktadır.

Pi'yi Nasıl Hesaplarız

Tahmin edebileceğiniz gibi, artık sayısının hesaplamak için elimizde
pek çok seçenek var. Örneğin,18 no'lu soruda trigonometri fonksiyonları
kullanılarak bu hesabın nasıl yapılabileceği belirtilmiş. Orada:
sin-11=/2 ve cos-10=/2 eşitliklerinin sol tarafları için Taylor serisi
açılımı kullanılarak, 'nin değerinin istenilen duyarlılıkla
hesaplanabileceği gösterilmiş.
Ancak, sizin burada sorduğunuz sorunun, bu hesabın, daire ve çap
ilişkisi kullanılarak nasıl yapılabileceğinin, ya da tarihsel olarak
nasıl yapıldığının açıklanması olduğunu varsayıyorum.
Bir dairede, dairenin alanı ile çap arasında, ya da dairenin çemberi
ile çap arasında sabit bir oranın var olduğu, ilk kimler tarafından ve
ne zaman keşfedildi, bu kesin olarak bilinmiyor. Elimizdeki en eski
kayıtta, M.Ö 1650 civarında Ahmes adlı Eski Mısır'lı bir katibin yazmış
olduğu ve Rhind Papirüsü adı verilen belgede, şöyle deniliyor: "Çapın
1/9'unu kes ve kalanının üstüne bir kare çiz; bu alan dairenin alanının
aynısıdır." Burada, dairenin alanı ile çap arasında sabit bir oranın
varlığı belirtilmiş olmakla birlikte, günümüzdeki anlamda bir ?
sayısının varlığının bilincinde olunduğu kuşkulu. Bu öneri
doğrultusunda elde edilecek olan sonuç, karenin kenarı x=8(2r)/9
olduğuna ve alanı x2=64.(4r2)/81 olacağına göre, bu alan dairenin
alanına eşitlendiğinde, 256r2/81= r2 veya =256/81=3,16005 olarak
karşımıza çıkar. Fena bir yaklaştırma değil. Öte yandan, söz konusu
karenin çevresi, L=4x=64r/9 olur. Bunu dairenin çevresine eşitleyecek
olursak, L=2r eşitliğinden, 64r/9=2r veya =32/9=3,55555 elde ederiz. Bu
yaklaştırma, alanların eşitlenmesiyle elde edilenden daha kötü. Eski
Mısır'lıların bu hesabı yapıp yapmadıklarını bilmiyoruz, ancak kendimiz
bu hesabı yaparsak =256/81 buluyoruz. Matematik tarihçileri arasında
genel kanı, Eski Mısırlıların, çemberin uzunluğunun çapın uzunluğuna
oranını 256/81=3,16049. olarak kabul ettikleri şeklindedir. Bu sayı,
bugün 54 milyar basamağa kadar hesaplanmış olan jsayısının ilk 5
basamağının 3,14159 olduğunu hatırlarsak, sayısının değerinin
hesaplanmasındaki hata oranının, daha M.Ö. 1650'lerde yüzde 1'in altına
düşmüş olduğu anl***** geliyor. Eski Grek'ler döneminde, Anaksagoras
(M.Ö. 500-428) ile başlayıp Antiphon ve Bryson ile devam eden
çalışmalarda, bir çemberin içine çizilen eşit kenarlı çokgenlerin
alanıyla sayısının hesaplanması çalışmaları başladı. Açalım:

Şekil'de yarıçapı r olan bir dairenin içine bir kare oturtulmuş. Bu
kareyi, daireye bir yaklaştırma olarak düşünüyoruz. ABC üçgeni
ikizkenar olduğundan, karenin yarım kenar uzunluğu a=r/2'dir. Bu
durumda karenin çevresi L=8a=42r, alanı A=(2a)²=(2r)²=2r² olur. Karenin
çevresini, dairenin çemberine eşitlersek, L=2r eşitliğinden, 42r=2r
veya =22 elde ederiz. Bu yaklaştırma bize, =2,828427 verir. Halbuki,
karenin alanını dairenin alanına eşitlediğimizde, A= r² eşitliğinden,
2r²= r², yani =2 elde ederiz. Bu yaklaştırma, çemberin çevreye
eşitlenmesiyle elde edilenden daha kötü.

Şimdi yaklaştırmamızı bir adım daha ileri götürmek üzere, bu sefer
dairenin içine, bir kare yerine, eşkenarlı bir sekizgen oturtalım.
Alttaki 2 numaralı şekilde bu durum görülüyor. Eşkenarlı sekizgenin
kareye göre fazlalık alanları sarı renkle tonlandırılmış. AD uzunluğu
r'ye eşit ve a=r/2 olduğuna göre; BCD üçgeninin yüksekliğinin b=r-r/2
olması gerekir. BC kenarının uzunluğu a=r/2 olduğuna göre, BD kenarının
uzunluğunun karesi a²+b² = r²/2+ (r²+ r²/2- 2r²/2)=2r²-2r²=(2-2)r²
olur. O halde BD'nin uzunluğu |BD|=(2-2)½ r'dir. Sekizgenin çevresi
bunun 8 katı, yani L=8.(2-2)½ r'ye eşittir. Bunu dairenin çevresine
eşitlersek, L= L=2r eşitliğinden, 8.(2-2)½ r = 2r veya =4.(2-2)½ elde
ederiz. Bu yaklaştırma bize, =3,06146 verir. Bir önceki yaklaştırmadan
daha iyi.

Öte yandan, BCD üçgeninin alanı a.b/2= (r/2).(r-r/2)/2=r²/22- r²/4
olur. Sekizgenin alanını elde etmek için, karenin alanına bu
üçgenlerden sekizinin alanını eklemek gerekir: A=(2a)²+8.(r²/22- r²/4)=
2r²+22r²- 2r²=22r². Bu alanı dairenin alanına eşitlersek, A= r²
eşitliğinden, 22r²= r², yani =22=2,828427 elde ederiz. Görüldüğü gibi,
bu yaklaştırma, çemberin çevreye eşitlenmesiyle elde edilenden daha
kötü, ama kare ile elde edilen yaklaştırmalardan daha iyi bir sonuç.
Demek ki, herhangi bir eşkenar çokgenle yaklaştırmada, çevrelerin
eşitlenmesi, alanların eşitlenmesinden daha iyi sonuç veriyor gibi.
Böyle bir genelleme yapmak mümkün. Bunun nedeni, çokgenlerin çevresinin
dairenin çevresine, çokgenlerin alanlarının dairenin alanına
yaklaştığından daha hızlı yaklaşıyor olması. Asıl ilginç olanı,
sekizgenle yaklaştırmada alanların eşitlenmesiyle elde edilen sonuç,
kare ile yaklaştırmada çevrelerin eşitlenmesiyle elde edilen sonucun
aynısı. Bunun nedenini de siz düşünüp bulun.

Bir sonraki yaklaştırma aşamasına, dairenin içindeki eşkenar sekizgen, bir eşkenar onaltıgene genişletilerek geçilebilir.

Ancak. Eski Greklerin yaptığı buna benzer çalışmalarda söz konusu
sabite, sayısı adı verilmiş değildi; yazılarda, çap ile çember uzunluğu
arasında çarpan olan "o sabit sayı"dan bahsediliyordu. Düzgün
çokgenlerle, köşe sayısını her adımda ikiye katlayarak, hızla daireye
doğru yaklaşılabileceği ve düzgün çokgenin alanı hesaplanıp çapa
bölünerek sayısının giderek daha da yüksek duyarlılıkla
hesaplanabileceği yukarıdaki örneklerden de görüleceği üzere, açıktır.
Ancak unutulmamalı ki, MÖ 4. yüzyıldan bahsediyoruz: Modern hesap
araçlarının yokluğunu bir yana bırakın, büyük hesaplama kolaylığı
getirmiş olan 10'lu Hind-Arap sayı sistemi dahi henüz ortalıkta yok.

Aşağıda bu hesaplamaların tarihçesini gösteren bir alıntı var. İlave
edeceğimiz tek şey, sıra kendisine geldiğinde Arşimed'in, alanları
hesaplamak yerine çevreyi kullanarak 'yi hesaplama yöntemini seçmiş
olmasıdır.

Sözü uzatmamak için şunu söyleyelim: Sizin sorduğunuz 3,14159...
hassasiyetine ulaşanlar Çin'li Tsu Ch'ung-chih ve oğlu Tsu
Keng-chih'dir. Çemberin içine tam 24 526 köşeli bir çokgen çizip hesabı
yaptılar ve 'nin değerini 355/113 olarak buldular. Belli ki, düzgün bir
altıgenle başlayıp köşe sayısını art arda 12 kez ikiye katlamış
olmalılar. Hesaplamadaki yaklaşımın duyarlılık düzeyini görüyorsunuz.

Evet, örneğin bir konserve kutusu alarak çevresini ve çapını ölçüp
oranlarsak, 'ye yakın bir sayı buluruz. Tarihsel yöntem bu idi. Ancak
günümüzde 'nin değeri çok sayıda farklı yöntem ile hesaplanmakta olup,
daha öncede belirttiğimiz gibi 54 milyar basamaktan daha büyük bir
duyarlılıkla hesaplanmış durumda.

Bu arada, "o sabit sayı"ya adını, 1650'lerden itibaren birkaç kez
kullanıldığı görünmekle birlikte, standard kullanım haline gelmesi,
1737'de Euler'in 'yi benimsemesinden sonra olmuştur.
pi kronolojisi

Doğum Gününüz Pi'de Gizli

Bilindiği gibi Pi, sonsuz bir rakamlar dizisi. Belirli bir düzende
kendisini tekrarlamayan sonlu bir çok alt dizilerden oluşur. Bu sonlu
alt dizilerin kümesi, hemen tahmin edebileceğiniz üzere, sonsuz eleman
taşımakla kalmaz, aynı zamanda muhtemel bütün sonlu alt dizileri de
içinde taşır. Bu özelliği nedeniyle de sizin ya da sevgilinizin doğum
gününü ggaayy veya ggaayyyy gibi bir dizin olarak yazdığınızda, bunun
pi'nin içinde olduğundan emin olabilirsiniz. Şanslı iseniz doğum
gününüzün dizisi pi'nin halen bilinen basamakları arasındadır. Şüphesiz
doğum gününüzü 6 haneli bir dizi olarak yazarsanız bulma şansınız
artar. Eğer Pi'nin hangi basamaklarına gizlenmiş olduğunuzu merak
ediyorsanız The Pi-Search Page sitesini bir ziyaret edin!

Aynı şekilde, istediğiniz başka dizileri pi'nin içinde arama şansınız
var. Ancak unutmayalım ki, Pi'nin bilinen basamakları 1.2 trilyon
civarında ama bunları ağ üzerinde tutmak çok fazla yer tuttuğundan,
bulmak kolay değil.
http://www.super-computing.org/pi-decimal_current.html adresinde ilginç gözlemler bulabilirsiniz. Örneğin
ilk 1 milyon basamak içinde, birçok şeyin yanında, şunlar gözlenebiliyor:
0123 - 102 kere
01234 - 8 kere
012345 - 2 kere
0123456-0 kere .

Pi nedir:

Matematikçi: "Pi, bir dairenin çevresinin çapına oranıdır."
Bilgisayar Programcısı: "Pi 3,14159265389 dur"
Fizikçi: "3,14159artı eksi 0,000005'tir"
Mühendis: "Yaklaşık 22/7'dir"

» İmparatorluklar Hakkında Bilgi
» Forum Hakkında Ne Düşünüyorsunuz?
» Sagopa Kajmer Hakkında Daha Fazlası